Правильно слово пишется так – «устаревшее», с буквой «а» в корне слова. Поскольку гласная находится в безударном положении, ее написание вызывает сомнение. Необходимо подобрать такое однокоренное проверочное слово, при котором она находилась бы под ударением, например, «старость», «стар». Вариант «усторевшее» является ошибочным.