Два тела, массой $m=5$ кг каждое, движутся с одинаковой скоростью $v=30$ м/с под углом $2α$ друг к другу. Энергия (в джоулях), выделяющаяся при их абсолютно неупругом соударении, вычисляется по формуле $Q = mv^2 sin^2 α$, где $m$ — масса в килограммах, $v$ — скорость в м/с. Найдите, под каким наименьшим углом $2α$ (в градусах) должны двигаться тела, чтобы в результате соударения выделилось энергии не менее $3375$ джоулей.

Плоский замкнутый контур площадью $S = 0{,}8$ м$^2$ находится в магнитном поле, индукция которого равномерно возрастает. При этом согласно закону электромагнитной индукции Фарадея в контуре появляется ЭДС индукции, значение которой, выраженное в вольтах, определяется формулой $ϵ_{i} = aScos α$, где $α$ — острый угол между направлением магнитного поля и перпендикуляром к контуру, $a=7{,}5 ⋅ 10^{-5}$ Тл/с — постоянная, $S$ — площадь замкнутого контура, находящегося в магнитном поле (в $м^2$). При каком минимальном угле $α$ (в градусах) ЭДС индукции не будет превышать $3√ 3⋅10^{-5}$ В?

Рейтинг $R$ интернет-магазина книг вычисляется по формуле
$R=r_{пок} — {r_{пок} — r_{экс}} / {(K+2)^m}$, где $m={0{,}05K} / {r_{пок}+4{,}5}$, $r_{пок}$ — средняя оценка магазина покупателями, $r_{экс}$ — оценка магазина, данная экспертами, $K$ — число покупателей, оценивших магазин. Найдите рейтинг интернет-магазина, если число покупателей, оценивших магазин, равно $62$, их средняя оценка равна $4{,}8$, а оценка экспертов равна $3{,}2$.

Рейтинг $R$ интернет-магазина цифровой техники вычисляется по формуле $R=r_{пок} — {r_{пок} — r_{экс}} / {(K+1)^m}$, где $m={0{,}03K} / {r_{пок}+0{,}9}$, $r_{пок}$ — средняя оценка магазина покупателями, $r_{экс}$ — оценка магазина, данная экспертами, $K$ — число покупателей, оценивших магазин. Найдите рейтинг интернет-магазина, если число покупателей, оценивших магазин, равно $80$, их средняя оценка равна $3{,}9$, а оценка экспертов равна $2{,}1$.

Для обогрева помещения, температура в котором поддерживается на уровне $T_{п} = 15 ^°$C, через радиатор отопления пропускают горячую воду температурой $T_{в} = 95 ^°$C. Расход проходящей через трубу радиатора воды $m = 0{,}3$ кг/с. Проходя по трубе расстояние $x$ м, вода охлаждается до температуры $T$, причём $x = α {cm} / {γ}log _2 {T_{в} — T_{п}} / {T — T_{п}}$, где $c = 4200{Вт⋅с} / {кг ⋅ °C!{}}$ — теплоёмкость воды, $γ = 35{Вт} / {м ⋅ °C!{}}$ — коэффициент теплообмена, а $α=2{,}5$ — постоянная. Найдите, до какой температуры (в градусах Цельсия) охладится вода, если длина трубы радиатора равна $180$ м.

В розетку электросети подключены приборы, общее сопротивление которых составляет $R_{1}=80$ Ом. Параллельно с ними в розетку предполагается подключить электрообогреватель. Определите наименьшее возможное сопротивление $R_{2}$ этого электрообогревателя, если известно, что при параллельном соединении двух проводников с сопротивлениями $R_{1}$ Ом и $R_{2}$ Ом их общее сопротивление даётся формулой $R_{общ} = {R_{1} R_{2}} / {R_{1} + R_{2}}$ (Ом), а для нормального функционирования электросети общее сопротивление в ней должно быть не меньше ${80} / {9}$ Ом. Ответ выразите в омах.

Очень лёгкий заряженный металлический шарик зарядом $q = 3{,}5 ⋅ 10^{-6}$ Кл скатывается по гладкой наклонной плоскости. В момент, когда его скорость составляет $v = 18$ м/с, на него начинает действовать постоянное магнитное поле, вектор индукции $B$ которого лежит в той же плоскости и составляет угол $α$ с направлением движения шарика. Значение индукции поля $B = 5 ⋅ 10^{-3}$ Тл. При этом на шарик действует сила Лоренца, равная $F_{л} = qvBsin α$ (Н) и направленная вверх, перпендикулярно плоскости. При каком наименьшем значении угла $α ∈[0°;180°]$ шарик оторвётся от поверхности, если для этого нужно, чтобы сила $F_{л}$ была не менее чем $3{,}15 ⋅ 10^{-7}$ Н? Ответ дайте в градусах.

Водолазный колокол, содержащий в начальный момент времени $υ= 8$ молей воздуха объёмом $V_1=80$ л, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного объёма $V_2$. Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением $A = α υ Tlog _2 {V_1} / {V_2}$, где $α=5{,}75$ $ {Дж} / {моль ⋅ К}$ — постоянная, а $T = 280$ К — температура воздуха. Найдите, какой объём $V_2$ (в литрах) станет занимать воздух, если при сжатии воздуха была совершена работа в $51520$ Дж.

Уравнение процесса, в котором участвовал газ, записывается в виде $pV^a = const$, где $p$ (Па) — давление в газе, $V$ — объём газа в кубических метрах, $a$ — положительная константа. При каком наименьшем значении константы $a$ уменьшение в пять раз объёма газа, участвующего в этом процессе, приводит к увеличению давления не менее, чем в $125$ раз?

Для поддержания навеса планируется использовать цилиндрическую колонну. Давление $P$ (в паскалях), оказываемое навесом и колонной на опору, определяется по формуле $P = {4mg} / {π D^2}$, где $m = 2700$ кг — общая масса навеса и колонны, $D$ — диаметр колонны (в метрах). Считая ускорение свободного падения $g=10$ м/с$^2$, а $π = 3$, определите наименьший возможный диаметр колонны, если давление, оказываемое на опору, не должно быть больше $576000$ Па. Ответ выразите в метрах.

Высота над землёй подброшенного вверх мяча меняется по закону $h(t)=2{,}25 + 8t — 4t^2$ , где $h$ — высота в метрах, $t$ — время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее четырёх метров?

Независимое агентство намерено ввести рейтинг новостных интернет-изданий на основе оценок информативности $In$, оперативности $Op$, объективности $Tr$ публикаций, а также качества $Q$ сайта. Каждый отдельный показатель — целое число от $-7$ до $7$. По решению составителей формула приняла вид: $R={4In+9Op+7Tr+3Q} / {A}$. Если по всем четырём показателям какое-то издание получило одну и ту же оценку, то рейтинг должен совпадать с этой оценкой. Найдите число $A$, при котором это условие будет выполняться.

Независимое агентство намерено ввести рейтинг новостных изданий на основе показателей информативности $In$, оперативности $Op$ и объективности $Tr$ публикаций. Каждый отдельный показатель — целое число от $-4$ до $4$. По решению аналитиков формула приняла вид $R={2In+5Op+3Tr} / {A}$. Найдите, каким должно быть число $A$, чтобы издание, у которого все показатели максимальны, получило бы рейтинг $50$.

Некоторая компания продаёт свою продукцию по цене $p=900$ руб. за единицу, переменные затраты на производство одной единицы продукции составляют $v=400$ руб., постоянные расходы предприятия $f= 800000$ руб. в месяц. Месячная операционная прибыль предприятия (в рублях) вычисляется по формуле $π(q)=q(p-v)-f$. Определите месячный объём производства $q$ (единиц продукции), при котором месячная операционная прибыль предприятия будет равна $600000$ руб.

На верфи инженеры проектируют новый аппарат для погружения на небольшие глубины. Конструкция имеет кубическую форму, а значит, действующая на аппарат выталкивающая (архимедова) сила, выражаемая в ньютонах, будет определяться по формуле $F_A = ρgl^3$, где $l$ — длина ребра куба в метрах, $ρ = 1000$ кг/м³ плотность воды, а $g$ — ускорение свободного падения (считайте $g = 9.8$ Н/кг). Какой может быть максимальная длина ребра куба, чтобы обеспечить его эксплуатацию в условиях, когда выталкивающая сила при погружении будет не больше, чем $264 600 Н$? Ответ выразите в метрах.