По условию в январе каждого года долг увеличивается на $20\%$, значит, долг в январе каждого года равен

$1.2\mathit{N};0.6·1.2\mathit{N};0.4·1.2\mathit{N}$, то есть $1.2\mathit{N},0.72\mathit{N},0.48\mathit{N}$.

Следовательно, выплаты с февраля по июнь каждого года составляют: $1.2\mathit{N}\mathit{—}0.6\mathit{N};0.72\mathit{N}\mathit{—}0.4\mathit{N};0.48\mathit{N}\mathit{—}0$, то есть $0.6\mathit{N},0.32\mathit{N},0.48\mathit{N}$.

Представим коэффициенты $0.6;0.32;0.48$ в виде несократимых дробей, получим $\frac{3}{5},\frac{8}{25},\frac{12}{25}$.

По условию числа $\mathit{N},\frac{3\mathit{N}}{5},\frac{8\mathit{N}}{25},\frac{12\mathit{N}}{25}$ должны быть целыми. Числа $3$ и $5,8$ и $25,12$ и $25$ образуют пары взаимно простых чисел, значит, число $\mathit{N}$ должно делиться на $5$ и $25$. Наименьшее общее кратное этих чисел равно $25$.

Наименьшее значение $\mathit{N}$ равно $25$ млн рублей.

По условию текущий долг возрастает на $\mathit{r}$ процентов каждый месяц, тогда на 15-е число каждого месяца выплаты процентов за обслуживание кредита составят:

$\frac{2\mathit{r}}{100}$; $\frac{1,8\mathit{r}}{100}$; $\frac{1,6\mathit{r}}{100}$; $\frac{1,2\mathit{r}}{100}$; $\frac{0,8\mathit{r}}{100}$; $\frac{0,4\mathit{r}}{100}$.

Общая сумма выплат (выплата процентов и суммы, взятой в кредит) равна

$2+\frac{2}{100}\mathit{r}+\frac{1,8}{100}\mathit{r}+\frac{1,6}{100}\mathit{r}+\frac{1,2}{100}\mathit{r}+\frac{0,8}{100}\mathit{r}+\frac{0,4}{100}\mathit{r}>2,5$,

$7,8\mathit{r}>50$,

$\mathit{r}>6\frac{16}{39}$,

$\mathit{r}$ — целое число, значит, наименьшее значение $\mathit{r}=7$.

Долг уменьшался равномерно 10 лет на $\mathit{x}$ млн руб. ежегодно. Тогда $6\mathit{—}10·\mathit{x}=0,\mathit{x}=0.6$.

Каждый год долг уменьшался на $0.6$ млн рублей. Ниже приведена таблица за 10 лет.

Последний платёж по условию не меньше $0.684$ млн. руб.

$0.6·\left(1+0.01\mathit{p}\right)\ge 0.684$,

$1+0.01\mathit{p}\ge 1.14$,

$\mathit{p}\ge 14.$

Наименьшая ставка $\mathit{p}=14\%.$

Согласно условию возврата кредита, ежегодно сумма долга будет уменьшаться на $\frac{11}{10}$ млн рублей, а плата за пользование кредитом будет составлять $\mathit{r}\%$ от оставшейся суммы долга. Тогда последний платёж будет $\left(\frac{11}{10}+\frac{11}{10}\cdot \frac{\mathit{r}}{100}\right)$ млн рублей, что по условию составляет не менее $1,265$ млн рублей. $\frac{11}{10}\left(1+\frac{\mathit{r}}{100}\right)⩾1,265$, $1+\frac{\mathit{r}}{100}⩾1,15$, $\mathit{r}⩾15$. Наименьшая возможная ставка — $15\%$.

Пусть первоначальный вклад был $\mathit{N}$ миллионов рублей. В конце каждого года вклад увеличивается на $10\%$, то есть в $1,1$ раза. Выпишем размер вклада после увеличения в конце каждого года.
В конце $1$-го года: $\mathit{N}\cdot 1,1=1,1\mathit{N}$.
В конце $2$-го года: $\left(1,1\mathit{N}+1\right)\cdot 1,1=1,21\mathit{N}+1,1$.
В конце $3$-го года: $\left(1,21\mathit{N}+1,1+1\right)\cdot 1,1=1,331\mathit{N}+2,31$.
Найдём наименьший размер первоначального вклада, при котором через три года вклад будет больше $5$ млн рублей.
$1,331\mathit{N}+2,31>5$,
$1,331\mathit{N}>2,69$, $\mathit{N}>2\frac{28}{1331}$.
По условию $\mathit{N}$ — целое число, значит, $3$ миллиона рублей — наименьший первоначальный вклад.

Рассмотрим два способа решения.

I способ

Пусть K сумма планируемого кредита, nчисло месяцев на которое планируется взять кредит.

Тогда долг на 15-е число каждого месяца, последующего за месяцем взятия кредита, становится меньше долга на 15-е число предыдущего месяца на сумму $\frac{\mathit{K}}{\mathit{n}}$. Согласно условию последовательность долгов на 15-е число по месяцам имеет вид:

$\mathit{K};\mathit{K}\mathit{—}\frac{\mathit{K}}{\mathit{n}}=\mathit{K}·\frac{\mathit{n}\mathit{—}1}{\mathit{n}};\mathit{K}\mathit{—}2·\frac{\mathit{K}}{\mathit{n}}=\mathit{K}·\frac{\mathit{n}\mathit{—}2}{\mathit{n}};\dots ;\mathit{K}·\frac{1}{\mathit{n}}$.

2. 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 12.5% по сравнению с концом предыдущего месяца.

Пусть d долг, который образуется в конце предыдущего месяца. 1-го числа последующего месяца он станет равным $\mathit{d}+\mathit{d}·\frac{12.5}{100}$.

Согласно условию к 15-у числу этого месяца он должен стать равным $\mathit{d}\mathit{—}\frac{\mathit{K}}{\mathit{n}}$. Поэтому в указанном месяце необходимо выплатить сумму $\left(\mathit{d}+\mathit{d}·\frac{12.5}{100}\right)\mathit{—}\left(\mathit{d}\mathit{—}\frac{\mathit{K}}{\mathit{n}}\right)=\mathit{d}·\frac{12.5}{100}+\frac{\mathit{K}}{\mathit{n}}$.

Отсюда получается последовательность ${\mathit{x}}_1;{\mathit{x}}_2;{\mathit{x}}_3;\dots ;{\mathit{x}}_{\mathit{n}}$ выплат по месяцам:

${\mathit{x}}_1=\mathit{K}·\frac{12.5}{100}+\frac{\mathit{K}}{\mathit{n}}$;

${\mathit{x}}_2=\mathit{K}·\frac{\mathit{n}\mathit{—}1}{\mathit{n}}·\frac{12.5}{100}+\frac{\mathit{K}}{\mathit{n}}$;

${\mathit{x}}_3=\mathit{K}·\frac{\mathit{n}\mathit{—}2}{\mathit{n}}·\frac{12.5}{100}+\frac{\mathit{K}}{\mathit{n}}$;

… ;

${\mathit{x}}_{\mathit{n}}=\mathit{K}·\frac{1}{\mathit{n}}·\frac{12.5}{100}+\frac{\mathit{K}}{\mathit{n}}$.

Как видим последовательность ${\mathit{x}}_1;{\mathit{x}}_2;{\mathit{x}}_3;\dots {\mathit{x}}_{\mathit{n}}$ является убывающей арифметической прогрессией (наибольшим числом является ${\mathit{x}}_1$, а наименьшим ${\mathit{x}}_{\mathit{n}}$). Её сумма ${\mathit{S}}_{\mathit{n}}$ находится по формуле ${\mathit{S}}_{\mathit{n}}=\frac{{\mathit{x}}_1+{\mathit{x}}_{\mathit{n}}}{2}·\mathit{n}$.

3. По условию ${\mathit{S}}_{\mathit{n}}$ на 50% больше суммы, взятой в кредит, поэтому ${\mathit{S}}_{\mathit{n}}=\frac{3}{2}\mathit{K}$:

${\mathit{S}}_{\mathit{n}}=\frac{\mathit{K}·\frac{12.5}{100}+\frac{\mathit{K}}{\mathit{n}}+\mathit{K}·\frac{1}{\mathit{n}}·\frac{12.5}{100}+\frac{\mathit{K}}{\mathit{n}}}{2}·\mathit{n}=\mathit{K}·\frac{12.5}{100}\left(1+\frac{1}{\mathit{n}}\right)+\frac{\frac{2\mathit{K}}{\mathit{n}}}{2}·\mathit{n}$;

${\mathit{S}}_{\mathit{n}}=\mathit{K}·\frac{12.5}{200}\left(\mathit{n}+1\right)+\mathit{K}$.

Отсюда, $\mathit{K}·\frac{12.5}{200}\left(\mathit{n}+1\right)+\mathit{K}=\frac{3}{2}\mathit{K},\frac{12.5}{200}\left(\mathit{n}+1\right)=\frac{1}{2},\frac{1}{16}\left(\mathit{n}+1\right)=\frac{8}{16},\mathit{n}+1=8,\mathit{n}=7$.

II способ

Пусть K — сумма планируемого кредита, n — число месяцев, на которое планируется взять кредит. Ежемесячный платёж состоит из двух частей. Перваяодна и та же сумма $\frac{\mathit{K}}{\mathit{n}}$ рублей, на которую каждый месяц уменьшается сумма долга.

Вторая плата за пользованием кредитом, которая составляет 12.5% от оставшегося долга.

Долг перед банком по состоянию на 15-е число каждого месяца, последующего за месяцем взятия кредита, должен уменьшаться до нуля равномерно: $\mathit{K};\mathit{K}\mathit{—}\frac{\mathit{K}}{\mathit{n}};\mathit{K}\mathit{—}2·\frac{\mathit{K}}{\mathit{n}};...;\mathit{K}\mathit{—}\left(\mathit{n}\mathit{—}1\right)·\frac{\mathit{K}}{\mathit{n}};\mathit{K}\mathit{—}\mathit{n}\frac{\mathit{K}}{\mathit{n}}=0$.

$\mathit{K}·\frac{\mathit{n}}{\mathit{n}};\mathit{K}·\frac{\mathit{n}\mathit{—}1}{\mathit{n}};\mathit{K}·\frac{\mathit{n}\mathit{—}2}{\mathit{n}};...;\mathit{K}·\frac{\mathit{n}\mathit{—}\left(\mathit{n}\mathit{—}1\right)}{\mathit{n}}=\mathit{K}·\frac{1}{\mathit{n}};0$.

Так как $12.5\%=\frac{12.5}{100}=\frac{1}{8}$, то ежемесячные выплаты за пользование кредитом составят

$\frac{1}{8}\mathit{K}·\frac{\mathit{n}}{\mathit{n}},\frac{1}{8}\mathit{K}·\frac{\mathit{n}\mathit{—}1}{\mathit{n}},\frac{1}{8}\mathit{K}·\frac{\mathit{n}\mathit{—}2}{\mathit{n}},...,\frac{1}{8}\mathit{K}·\frac{1}{\mathit{n}}$.

Найдём сумму выплат $\mathit{S}$ за пользование кредитом: $\mathit{S}=\frac{\mathit{K}}{8\mathit{n}}\left(\mathit{n}+\left(\mathit{n}\mathit{—}1\right)+\left(\mathit{n}\mathit{—}2\right)+\dots +1\right)=\frac{\mathit{K}}{8\mathit{n}}·\frac{\mathit{n}+1}{2}·\mathit{n}=\frac{\mathit{K}\left(\mathit{n}+1\right)}{16}$.

По условию общая сумма выплат после погашения кредита на 50% больше суммы, взятой в кредит, то есть $\mathit{S}=\frac{1}{2}\mathit{K}$.

$\frac{\mathit{K}\left(\mathit{n}+1\right)}{16}=\frac{1}{2}\mathit{K},\mathit{n}+1=8,\mathit{n}=7$.

Кредит планируется взять на $7$ месяцев.

1. Через год сумма долга увеличится на $\mathit{r}\%$ и станет равной $140000\left(1+\frac{\mathit{r}}{100}\right)$ рублей. После выплаты $87000$ рублей долг станет равным $140000\left(1+\frac{\mathit{r}}{100}\right)\mathit{—}87000$ рублей.

2. После увеличения в конце второго года на $\mathit{r}\%$ долг станет равным $\left(140000\left(1+\frac{\mathit{r}}{100}\right)\mathit{—}87000\right)\left(1+\frac{\mathit{r}}{100}\right)$ рублей. А после выплаты $63000$ рублей он станет равным нулю. Получаем уравнение: $\left(140000\left(1+\frac{\mathit{r}}{100}\right)\mathit{—}87000\right)\left(1+\frac{\mathit{r}}{100}\right)\mathit{—}63000=0$.

3. Пусть $\left(1+\frac{\mathit{r}}{100}\right)=\mathit{x}$. Тогда уравнение принимает вид: $\left(140000\mathit{x}-87000\right)\mathit{x}\mathit{—}63000=0$;

$140000{\mathit{x}}^2\mathit{—}87000\mathit{x}\mathit{—}63000=0;140{\mathit{x}}^2\mathit{—}87\mathit{x}\mathit{—}63=0$

По формуле корней квадратного уравнения получаем

${\mathit{x}}_{\mathrm{1,2}}=\frac{87\pm \sqrt{7569+35280}}{280}=\frac{87\pm \sqrt{42849}}{280}=\frac{87\pm 207}{280}$.

, что невозможно по условию.

${\mathit{x}}_2=\frac{87+207}{280}=\frac{294}{280}=1\frac{14}{280}=1+\frac{1}{20}=1+\frac{5}{100}$.

Отсюда, $\left(1+\frac{\mathit{r}}{100}\right)=1+\frac{5}{100},\mathit{r}=5$.

1. Через год сумма долга увеличится на $\mathit{r}\%$ и станет равной $150000\left(1+\frac{\mathit{r}}{100}\right)$ рублей. После выплаты $95000$ рублей долг станет равным $150000\left(1+\frac{\mathit{r}}{100}\right)-95000$ рублей.

2. После увеличения в конце года на $\mathit{r}\%$ долг станет равным $\left(150000\left(1+\frac{\mathit{r}}{100}\right)-95000\right)\left(1+\frac{\mathit{r}}{100}\right)$ рублей. А после выплаты $77000$ рублей он станет равным нулю. Получаем уравнение: $\left(150000\left(1+\frac{\mathit{r}}{100}\right)-95000\right)\left(1+\frac{\mathit{r}}{100}\right)-77000=0$.

3. Пусть $\left(1+\frac{\mathit{r}}{100}\right)=\mathit{x}$.

Тогда уравнение принимает вид: $\left(150000\mathit{x}-95000\right)\mathit{x}-77000=0$; $150000{\mathit{x}}^2-95000\mathit{x}-77000=0$; $150{\mathit{x}}^2-95\mathit{x}-77=0$

По формуле корней квадратного уравнения получаем: ${\mathit{x}}_{\mathrm{1,2}}=\frac{95\pm \sqrt{9025+46200}}{300}=\frac{95\pm \sqrt{55225}}{300}=\frac{95\pm 235}{300}$.

, что невозможно по условию. ${\mathit{x}}_2=\frac{95+235}{300}=\frac{330}{300}=1\frac{1}{10}=1+\frac{10}{100}$. Отсюда, $\left(1+\frac{\mathit{r}}{100}\right)=1+\frac{10}{100}$, $\mathit{r}=10$.

1. Пусть сумма взятого кредита в рублях равна K рублей, а сумма ежегодного платежа равна x рублей. В январе 2023 года долг возрастёт на 12.5% и станет равным $\mathit{K}·1.125$ рублей. Тогда после внесения платежа в x рублей к концу мая 2023 года долг станет равным $\mathit{K}·1.125-\mathit{x}$ рублей.

В январе 2024 года этот долг опять увеличится на 12.5% и с февраля по конец мая 2024 года будет внесён платеж в $\mathit{x}$ рублей. В июне 2024 года долг составит $\left(\mathit{K}·1.125\mathit{—}\mathit{x}\right)·1.125\mathit{—}\mathit{x}$ рублей.

Наконец, в январе 2025 года этот долг опять увеличится на 12.5% и с февраля по конец мая 2025 года будет внесён платеж в x рублей. Первого июня 2025 года долг составит $\left(\left(\mathit{K}·1.125-\mathit{x}\right)·1.125-\mathit{x}\right)1.125-\mathit{x}$ рублей. По условия кредит будет погашен тремя платежами, поэтому получаем уравнение:

$\left(\left(\mathit{K}·1.125\mathit{—}\mathit{x}\right)·1.125\mathit{—}\mathit{x}\right)1.125\mathit{—}\mathit{x}=0$;

$\mathit{x}=\frac{\mathit{K}·{\left(1.125\right)}^3}{{\left(1.125\right)}^2+1.125+1}$.

Заметим, что $1.125=\frac{9}{8}$, поэтому $\mathit{x}=\frac{\mathit{K}·{\left(9\right)}^3}{8·9^2+8^2·9+8^3}=\frac{\mathit{K}·729}{8·217}$;

Так как вся сумма выплат равна $3\mathit{x}$, то сумма выплат равна $3·\frac{\mathit{K}·729}{1736}=\frac{\mathit{K}·2187}{1736}$.

Согласно условию получаем уравнение: $\frac{\mathit{K}·2187}{1736}=\mathit{K}+20295$;

$\frac{\mathit{K}·\left(2187-1736\right)}{1736}=20295;\frac{\mathit{K}·451}{1736}=20295$;

$\mathit{K}=45·1736=78120$

1. Пусть сумма взятого кредита в рублях равна K рублей, а сумма ежегодного платежа равна x рублей. В январе 2020 года долг возрастёт на 8% и станет равным $\mathit{K}·1.08$ рублей. Тогда после внесения платежа в x рублей к концу сентября 2020 года долг станет равным $\mathit{K}·1.08-\mathit{x}$ рублей.

В январе 2021 года этот долг опять увеличится на 8% и с февраля по конец сентября 2021 года будет внесён платеж в x рублей. В октябре 2021 года долг составит $\left(\mathit{K}·1.08\mathit{—}\mathit{x}\right)·1.08\mathit{—}\mathit{x}$ рублей.

Наконец, в январе 2022 года этот долг опять увеличится на 8% и с февраля по конец сентября 2022 года будет внесён платеж в x рублей. Первого октября 2022 года долг составит $\left(\left(\mathit{K}·1.08-\mathit{x}\right)·1.08-\mathit{x}\right)1.08-\mathit{x}$ рублей. По условия кредит будет погашен тремя платежами, поэтому получаем уравнение:

$\left(\left(\mathit{K}·1.08\mathit{—}\mathit{x}\right)·1.08\mathit{—}\mathit{x}\right)1.08\mathit{—}\mathit{x}=0$;

${1.08}^3\mathit{K}\mathit{—}{1.08}^2·\mathit{x}\mathit{—}1.08\mathit{x}\mathit{—}\mathit{x}=0$.

$\mathit{x}=\frac{\mathit{K}·{\left(1.08\right)}^3}{{\left(1.08\right)}^2+1.08+1}$.

Заметим, что $1.08=\frac{27}{25}$, поэтому $\mathit{x}=\frac{\mathit{K}·{\left(27\right)}^3}{25·\left({\left(27\right)}^2+25·27+{\left(25\right)}^2\right)}=\frac{\mathit{K}·19683}{25·2029}$;

Так как вся сумма выплат равна $3\mathit{x}$, то сумма выплат равна $3·\frac{\mathit{K}·19683}{50725}=\frac{\mathit{K}·59049}{50725}$.

Согласно условию получаем уравнение: $\frac{\mathit{K}·59049}{50725}=\mathit{K}+8324$;

$\frac{\mathit{K}·\left(59049-50725\right)}{50725}=8324;\frac{\mathit{K}·8324}{50725}=8324$;

$\mathit{K}=50725$

В конце декабря первого года долг возрастёт на $12.5\%$ и станет равным $394400·1.125$. Пусть $\mathit{x}$ — сумма в рублях ежегодного платежа. Тогда после внесения платежа в $\mathit{x}$ рублей к началу июля второго года долг станет равным $394400·1.125\mathit{—}\mathit{x}$ рублей.

В конце декабря второго года этот долг опять увеличится на $12.5\%$ и с января по конец июня третьего года будет внесён платеж в $\mathit{x}$ рублей.

Первого июля третьего года долг составит $\left(394400·1.125-\mathit{x}\right)·1.125-\mathit{x}$. Аналогично рассуждая получим, что долг на 1-ое июля пятого года будет равен

$\left(\left(\left(394400·1.125-\mathit{x}\right)·1.125-\mathit{x}\right)·1.125-\mathit{x}\right)·1.125-\mathit{x}$. Так как после четырёх внесений долг исчерпается, то получаем уравнение:

$\left(\left(\left(394400·1.125\mathit{—}\mathit{x}\right)·1.125\mathit{—}\mathit{x}\right)·1.125\mathit{—}\mathit{x}\right)·1.125\mathit{—}\mathit{x}=0$;

$394400·{\left(1.125\right)}^4\mathit{—}\mathit{x}\left({\left(1.125\right)}^3+{\left(1.125\right)}^2+1.125+1\right)=0$;

$\mathit{x}=\frac{394400·{\left(1.125\right)}^4}{{\left(1.125\right)}^3+{\left(1.125\right)}^2+1.125+1}$.

Применяя формулу суммы геометрической прогрессии, получаем:

$\mathit{x}=\frac{394400·{\left(1.125\right)}^4}{\frac{{\left(1.125\right)}^4\mathit{—}1}{1.125\mathit{—}1}}=\frac{394400·{\left(1.125\right)}^4·0.125}{{\left(1.125\right)}^4\mathit{—}1}$.

Заметим, что $1.125=\frac{9}{8}$, а $0.125=\frac{1}{8}$, поэтому

$\mathit{x}=\frac{394400·{\left(1.125\right)}^4·0.125}{{\left(1.125\right)}^4\mathit{—}1}=\frac{394400·9^4·8^4}{8^4·8·\left(9^4\mathit{—}{8}^4\right)}=\frac{394400·6561}{8·\left(6561\mathit{—}4096\right)}$;

$\mathit{x}=\frac{394400·6561}{8·2465}=\frac{394400·6561}{19720}=20·6561=131220$.

Так как вся сумма выплат равна $4\mathit{x}$, то она равна $4·131220=524880$.

Сумма переплат по кредиту равна $524880-394400=130480$ рублей.

1. В конце декабря первого года долг возрастёт на $20\%$ и станет равным $100650\cdot 1,2$. Пусть $\mathit{x}$ — сумма в рублях ежегодного платежа. Тогда после внесения платежа в $\mathit{x}$ рублей к началу августа второго года долг станет равным $100650\cdot 1,2-\mathit{x}$ рублей. В конце декабря второго года этот долг опять увеличится на $20\%$ и с января по конец июля третьего года будет внесён платеж в $\mathit{x}$ рублей. Первого августа третьего года долг составит $\left(100650\cdot 1,2-\mathit{x}\right)\cdot 1,2-\mathit{x}$. Аналогично рассуждая, получим, что долг на $1$ августа пятого года будет равен $\left(\left(\left(100650\cdot 1,2-\mathit{x}\right)\cdot 1,2-\mathit{x}\right)\cdot 1,2-\mathit{x}\right)\cdot 1,2-\mathit{x}$. Так как после четырёх внесений долг исчерпается, то получаем уравнение: $\left(\left(\left(100650\cdot 1,2-\mathit{x}\right)\cdot 1,2-\mathit{x}\right)\cdot 1,2-\mathit{x}\right)\cdot 1,2-\mathit{x}=0$; $100650\cdot {\left(1,2\right)}^4-\mathit{x}\left({\left(1,2\right)}^3+{\left(1,2\right)}^2+1,2+1\right)=0$; $\mathit{x}=\frac{100650\cdot {\left(1,2\right)}^4}{{\left(1,2\right)}^3+{\left(1,2\right)}^2+1,2+1}$. Применяя формулу суммы геометрической прогрессии, получаем: $\mathit{x}=\frac{100650\cdot {\left(1,2\right)}^4}{\frac{{\left(1,2\right)}^4-1}{1,2-1}}=\frac{100650\cdot {\left(1,2\right)}^4\cdot 0,2}{{\left(1,2\right)}^4-1}$. Заметим, что $1,2=\frac{6}{5}$, а $0,2=\frac{1}{5}$, поэтому
$\mathit{x}=\frac{100650\cdot {\left(1,2\right)}^4\cdot 0,2}{{\left(1,2\right)}^4-1}=\frac{100650\cdot 6^4\cdot 5^4}{5^4\cdot 5\cdot \left(6^4-5^4\right)}=\frac{100650\cdot 1296}{5\cdot \left(1296-625\right)}$; $\mathit{x}=\frac{100650\cdot 1296}{5\cdot 671}=30\cdot 1296=38880$. Так как вся сумма выплат равна $4\mathit{x}$, то она равна $4\cdot 38880=155520$ рублей.

1. Пусть $\mathit{n}$ — число лет, на которое планируется взять кредит. Тогда долг на май месяц каждого года, последующего за годом взятия кредита становится меньше долга на май предыдущего года на сумму $\frac{15}{\mathit{n}}$. Согласно условию последовательность долгов на май месяц в млн рублей по годам имеет вид:

$15;15\mathit{—}\frac{15}{\mathit{n}}=15·\frac{\mathit{n}\mathit{—}1}{\mathit{n}};15\mathit{—}2·\frac{15}{\mathit{n}}=15·\frac{\mathit{n}\mathit{—}2}{\mathit{n}};\dots ;15·\frac{1}{\mathit{n}}$.

2. В январе каждого года, последующего за годом взятия кредита долг возрастает на 6% по сравнению с концом предыдущего года.

Пусть $\mathit{d}$ — долг, который образуется в конце некоторого года. В январе последующего года он станет равным $\mathit{d}+\mathit{d}·\frac{6}{100}$.

Согласно условию к маю этого года он должен стать равным $\mathit{d}\mathit{—}\frac{15}{\mathit{n}}$. Поэтому в указанном году необходимо выплатить сумму $\left(\mathit{d}+\mathit{d}·\frac{6}{100}\right)\mathit{—}\left(\mathit{d}\mathit{—}\frac{15}{\mathit{n}}\right)=\mathit{d}·\frac{6}{100}+\frac{15}{\mathit{n}}$.

Отсюда получается последовательность ${\mathit{x}}_1;{\mathit{x}}_2;{\mathit{x}}_3;\dots ;{\mathit{x}}_{\mathit{n}}$ выплат по годам в млн рублей :

${\mathit{x}}_1=15·\frac{6}{100}+\frac{15}{\mathit{n}}$;

${\mathit{x}}_2=15·\frac{\mathit{n}\mathit{—}1}{\mathit{n}}·\frac{6}{100}+\frac{15}{\mathit{n}}$;

${\mathit{x}}_3=15·\frac{\mathit{n}\mathit{—}2}{\mathit{n}}·\frac{6}{100}+\frac{15}{\mathit{n}}$;

… ;

${\mathit{x}}_{\mathit{n}}=15·\frac{1}{\mathit{n}}·\frac{6}{100}+\frac{15}{\mathit{n}}$.

Как видим последовательность ${\mathit{x}}_1;{\mathit{x}}_2;{\mathit{x}}_3;\dots ;{\mathit{x}}_{\mathit{n}}$ является убывающей арифметической прогрессией. Наибольшим числом является ${\mathit{x}}_1$, а наименьшим ${\mathit{x}}_{\mathit{n}}$. Её сумма ${\mathit{S}}_{\mathit{n}}$ находится по формуле ${\mathit{S}}_{\mathit{n}}=\frac{{\mathit{x}}_1+{\mathit{x}}_{\mathit{n}}}{2}·\mathit{n}$.

3. Найдём теперь $\mathit{n}$ из условия ${\mathit{S}}_{\mathit{n}}=\frac{{\mathit{x}}_1+{\mathit{x}}_{\mathit{n}}}{2}·\mathit{n}=17.25$:

$17.5=\frac{15·\frac{6}{100}+\frac{15}{\mathit{n}}+15·\frac{1}{\mathit{n}}·\frac{6}{100}+\frac{15}{\mathit{n}}}{2}·\mathit{n}$;

$34.5=0.9\mathit{n}+0.9+30;3.6=0.9\mathit{n};\mathit{n}=4.$.

1. Пусть $\mathit{n}$ — число лет, на которое планируется взять кредит. Тогда долг на апрель месяц каждого года, последующего за годом взятия кредита становится меньше долга на апрель предыдущего года на сумму $\frac{12}{\mathit{n}}$. Согласно условию последовательность долгов на апрель месяц в млн рублей по годам имеет вид:

$12;12\mathit{—}\frac{12}{\mathit{n}}=12·\frac{\mathit{n}\mathit{—}1}{\mathit{n}};12\mathit{—}2·\frac{12}{\mathit{n}}=12·\frac{\mathit{n}\mathit{—}2}{\mathit{n}};\dots ;12·\frac{1}{\mathit{n}}$.

2. В январе каждого года, последующего за годом взятия кредита долг возрастает на 2.5% по сравнению с концом предыдущего года.

Пусть $\mathit{d}$ — долг, который образуется в конце некоторого года. В январе последующего года он станет равным $\mathit{d}+\mathit{d}·\frac{2.5}{100}$.

Согласно условию к апрелю этого года он должен стать равным $\mathit{d}\mathit{—}\frac{12}{\mathit{n}}$. Поэтому в указанном году необходимо выплатить сумму $\left(\mathit{d}+\mathit{d}·\frac{2.5}{100}\right)\mathit{—}\left(\mathit{d}\mathit{—}\frac{12}{\mathit{n}}\right)=\mathit{d}·\frac{2.5}{100}+\frac{12}{\mathit{n}}$.

Отсюда получается последовательность ${\mathit{x}}_1;{\mathit{x}}_2;{\mathit{x}}_3;\dots ;{\mathit{x}}_{\mathit{n}}$ выплат по годам в млн рублей :

${\mathit{x}}_1=12·\frac{2.5}{100}+\frac{12}{\mathit{n}}$;

${\mathit{x}}_2=12·\frac{\mathit{n}\mathit{—}1}{\mathit{n}}·\frac{2.5}{100}+\frac{12}{\mathit{n}}$;

${\mathit{x}}_3=12·\frac{\mathit{n}\mathit{—}2}{\mathit{n}}·\frac{2.5}{100}+\frac{12}{\mathit{n}}$;

… ;

${\mathit{x}}_{\mathit{n}}=12·\frac{1}{\mathit{n}}·\frac{2.5}{100}+\frac{12}{\mathit{n}}$.

Как видим последовательность ${\mathit{x}}_1;{\mathit{x}}_2;{\mathit{x}}_3;\dots ;{\mathit{x}}_{\mathit{n}}$ является убывающей арифметической прогрессией. Наибольшим числом является ${\mathit{x}}_1$, а наименьшим ${\mathit{x}}_{\mathit{n}}$. Её сумма ${\mathit{S}}_{\mathit{n}}$ находится по формуле ${\mathit{S}}_{\mathit{n}}=\frac{{\mathit{x}}_1+{\mathit{x}}_{\mathit{n}}}{2}·\mathit{n}$. Согласно условию получаем: ${\mathit{S}}_{\mathit{n}}=\frac{5.75}{2}·\mathit{n}=2.875·\mathit{n}$.

3. Найдём теперь $\mathit{n}$ из условия ${\mathit{x}}_1+{\mathit{x}}_{\mathit{n}}=13.5$:

$13.5=\frac{12·\frac{2.5}{100}+\frac{12}{\mathit{n}}+12·\frac{1}{\mathit{n}}·\frac{2.5}{100}+\frac{12}{\mathit{n}}}{2}·\mathit{n}$;

$27=0.3\mathit{n}+0.3+24;2.7=0.3\mathit{n};\mathit{n}=9.$.

В феврале 2018 года долг возрастает на 25% по сравнению с концом 2017 года: $\mathit{S}+0.25\mathit{S}=1.25\mathit{S}$.

С марта по июль долг уменьшается на некоторое число, обозначим его ${\mathit{P}}_{\mathit{n}}$ и будем считать, учитывая условие, что в 2018 году было выплачено ${\mathit{P}}_1$ и в каждом следующем ${\mathit{P}}_2,{\mathit{P}}_3,{\mathit{P}}_4$, соответственно. Итак, составим выражения для выплат в каждом году.

2018 г: $1.25\mathit{S}\mathit{—}{\mathit{P}}_1=0.8\mathit{S}$;

2019 г: $1.25\cdot 0.8\mathit{S}\mathit{—}{\mathit{P}}_2=0.5\mathit{S}$;

2020 г: $1.25\cdot 0.5\mathit{S}\mathit{—}{\mathit{P}}_3=0.3\mathit{S}$;

2021 г: $1.25\cdot 0.3\mathit{S}\mathit{—}{\mathit{P}}_4=0$.

Общая сумма выплат $\left({\mathit{P}}_1+{\mathit{P}}_2+{\mathit{P}}_3+{\mathit{P}}_4\right)$ должна быть больше 5 млн рублей, то есть ${\mathit{P}}_1+{\mathit{P}}_2+{\mathit{P}}_3+{\mathit{P}}_4>5$.

${\mathit{P}}_1+{\mathit{P}}_2+{\mathit{P}}_3+{\mathit{P}}_4=1.25\mathit{S}+1.25·0.8\mathit{S}+1.25·0.5\mathit{S}+1.25·0.3\mathit{S}-\left(0.8\mathit{S}+0.5\mathit{S}+0.3\mathit{S}\right)$;

${\mathit{P}}_1+{\mathit{P}}_2+{\mathit{P}}_3+{\mathit{P}}_4=1.25\mathit{S}\left(1+0.8+0.5+0.3\right)\mathit{—}\mathit{S}·\left(0.8+0.5+0.3\right),\mathit{S}\left(1.25·2.6\mathit{—}1.6\right)>5,\mathit{S}·1.65>5,\mathit{S}>3\frac{1}{33}$.

Отсюда, $\mathit{S}=4$ млн руб. (наименьшее значение).