Задание 16. Задача на планиметрию. ЕГЭ 2024 по математике профильного уровня
Средний процент выполнения: 15.4%
Ответом к заданию 16 по математике (профильной) может быть развернутый ответ (полная запись решения с обоснованием выполненных действий).
Задачи для практики
Задача 1
В начале года Пётр взял в банке кредит $3{,}6$ млн рублей с процентной ставкой $10%$ годовых на $3$ года с погашением кредита по следующей схеме:
— в начале года банк увеличивает долг на $10%$;
— выплаты производятся в конце каждого года;
— каждая следующая выплата на $10%$ больше предыдущей.
Сколько рублей переплатил Пётр банку, погасив свой кредит по указанной схеме за три года?
Решение
Пусть $a = 3.6$ млн.$= 3600$ тыс. рублей и $b_1 , b_2 , b_3$ — выплаты по годам (в тысячах рублей), тогда
$1.1a — b_1 = b$ тыс. рублей — долг после первой выплаты;
$1.1b — b_2 = c$ тыс. рублей — долг после второй выплаты;
$1.1c — b_3 = 0$ тыс. рублей — долг после третьей выплаты;
Проделав обратные преобразования, выразим $a$ через $b_1$, учитывая, что $b_2 = 1.1b_1, b_3 = 1.1^2b_1$ получим:
$a = {b_1}/{1.1} + {b_2}/{1.21} + {b_3}/{1.331} = {b_1}/{1.1} + {b_1}/{1.1} + {b_1}/{1.1} = {3b_1}/{1.1}$, поэтому $b_1 = {1.1a}/{3}$. Учитывая, что $a = 3600$ тыс. рублей, найдем величину первой выплаты $b_1 = {1.1 ·3600}/{3} = 1320$ тыс. рублей. Тогда вторая выплата равна $b_2 = 1.1 · 1320 = 1452$ тыс. рублей, а третья выплата равна $1.1 · 1452 = 1597.2$ тыс. рублей. Сумма всех выплат равна $1320 + 1452 + 1597.2 = 4369.2$ тыс. рублей, значит, Петр переплатил банку $4369.2 — 3600 = 769.2$ тыс. рублей.
Задача 2
В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на $r %$ по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.
Известно, что если ежегодно выплачивать по $72000$ рублей, то кредит будет полностью погашен за $4$ года, а если ежегодно выплачивать по $122000$ рублей, то кредит будет полностью погашен за $2$ года. Найдите число $r$.
Решение
Пусть сумма кредита равна $S$ рублей, ежегодная выплата равна $x$ рублей, $q = 1 + {r}/{100}$ — процентный коэффициент. По условию долг на июль меняется следующим образом:
июль $2021: S_1 = qS — x$,
июль $2022: S_2 = qS_1 — x = q^2S — (q + 1)x$.
Если за 2 года кредит не погашен, то далее:
июль $2023: S_3 = qS_2 — x = q^3 S — (q^2 + q + 1)x$,
июль $2024: S_4 = qS_3 — x = q^4 S — (q^3 + q^2 + q + 1)x = q^4 S — {(q^4 — 1)x}/{q- 1}$.
Если долг выплачен двумя равными платежами $x_2$, то $S_2 = 0$. Тогда $q^2 S — (q + 1)x_2 = 0, S = {(q + 1)x_2}/{q^2}$.
Если долг выплачен четырьмя равными платежами $x_4$, то $S_4 = 0$. Тогда $q^4 S — {(q^4- 1)x_4}/{q- 1} = 0, S = {(q^4 — 1)x_4}/{q^4 (q — 1)}$.
Исключив из уравнений сумму кредита $S$, получим ${(q + 1)x_2}/{q^2} = {(q^4 — 1)x_4}/{q^4 (q — 1)}, q^2 = {x_4}/{x_2 — x_4}$.
По условию $x_4 = 72 000, x_2 = 122 000$. Значит $q^2 = {72 000}/{122 000 — 72 000} = {36}/{25}, q = {6}/{5} = 1.2, r = 20$.
Задача 3
В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на $r %$ по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.
Известно, что если ежегодно выплачивать по $50000$ рублей, то кредит будет полностью погашен за $4$ года, а если ежегодно выплачивать по $82000$ рублей, то кредит будет полностью погашен за $2$ года. Найдите число $r$.
Решение
Пусть сумма кредита равна $S$ рублей, ежегодная выплата равна $x$ рублей, $q = 1 + {r} / {100}$ — процентный коэффициент. По условию долг на июль меняется следующим образом:
июль 2021: $S_1 = qS — x$,
июль 2022: $S_2 = qS_1 — x = q^2S — (q + 1)x$,
июль 2023: $S_3 = qS_2 — x = q^3S — (q^2 + q + 1)x$,
июль 2024: $S_4 = qS_3 — x = q^4S — (q^3 + q^2 + q + 1)x = q^4S — {(q^4 — 1)x} / {q — 1}$. Если долг выплачен двумя равными платежами $x_2$, то $S_2 = 0$. Тогда
$q^2S — (q + 1)x_2 = 0$, $S = {(q + 1)x_2} / {q^2}$. Если долг выплачен четырьмя равными платежами $x_4$, то $S_4 = 0$. Тогда
$q^4S — {(q^4 — 1)x_4} / {q — 1} = 0$, $S = {(q^4 — 1)x_4} / {q^4(q — 1)}$. Исключив из уравнений сумму кредита $S$, получим
${(q + 1)x_2} / {q^2} = {(q^4 — 1)x_4} / {q^4(q — 1)}$, $q^2 = {x_4} / {x_2 — x_4}$. По условию $x_4 = 50000$, $x_2 = 82000$. Значит,
$q^2 = {50000} / {82000 — 50000} = {25} / {16}$, $q = {5} / {4} = 1{,}25$, $r = 25 %$.
Задача 4
Вклад в размере $5$ млн руб. планируется открыть на четыре года. В конце каждого года банк увеличивает вклад на $20 %$ по сравнению с его значением в начале года. Кроме того, в середине первого и второго годов вкладчик ежегодно пополняет вклад на $P$ млн руб., где $P$ — целое число. Найдите наименьшее значение $P$, при котором банк за $4$ года начислит на вклад больше $8$ млн рублей.
Решение
При увеличении вклада на $20%$ он увеличивается в ${100+20} / {100}=1{,}2$
раза. После первого начисления процентов вклад стал равен ($1{,}2⋅ 5+P$) млн руб. После второго начисления процентов вклад стал равен $((1{,}2⋅ 5+P)⋅ 1{,}2+P)$ млн руб. Вкладчик положил на вклад ($5+2P$) млн руб., и по условию сумма на вкладе в конце четвёртого года больше вложенного более чем на $8$ млн руб. Запишем неравенство. $((1{,}2⋅ 5+P)⋅ 1{,}2+P)⋅ 1{,}2^2>5+2P+8$. $(7{,}2+2{,}2P)⋅ 1{,}44>13+2P$, $1{,}168P>2{,}632$, $P>{2632} / {1168}$, $P>2{296} / {1168}$. Наименьшее целое $P$ равно $3$.
Задача 5
Клиент планирует взять в банке льготный кредит на целое число миллионов рублей сроком на $5$ лет. В середине каждого года действия кредита долг клиента возрастает на $20%$ по сравнению с началом года. В конце $1$-го, $2$-го и $3$-го годов клиент выплачивает только проценты по кредиту, оставляя долг неизменно равным первоначальному. В конце $4$-го и $5$-го годов клиент выплачивает одинаковые суммы, погашая весь долг полностью. Найдите наименьший размер кредита, при котором общая сумма выплат клиента превысит $20$ млн рублей.
Решение
Пусть $S$ млн руб. — сумма кредита. Так как в конце 1-го, 2-го и 3-го годов клиент выплачивает по $0.2S$, то за три года он выплатит $0.2S · 3 = 0.6S$.
Рассмотрим погашение кредита за 4-й и 5-й годы. В середине четвёртого года долг возрастёт до $1.2S$. Обозначим через x размер выплачиваемой суммы в конце 4-го и 5-го годов. После выплаты в конце четвёртого года долг равен $1.2S — x$, а в середине 5-го года долг равен $1.2(1.2S — x)$. В конце 5-го года весь долг должен быть погашен, то есть последняя выплата равна $1.2(1.2S — x)$ и по условию равна $x$. Отсюда $1.2(1.2S — x) = x, 2.2x = 1.44S, x = {144}/{220} S={36}/{55}S$.
Общий размер выплат равен $0.6S+{36}/{55}S + {36}/{55} S = {21}/{11} S$.
По условию ${21}/{11} S > 20, S > 10{10}/{21}$. Найдём наименьшее целое $S$.
Неравенство выполнимо при $S = 11$. Наименьший размер кредита составляет $11$ млн рублей.
Задача 6
В июле $2019$ года планируется взять кредит в банке в размере $N$ млн рублей, где $N$ — натуральное число, сроком на $3$ года. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг увеличивается на $20%$ по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
— в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.
| Месяц и год | Июль 2019 | Июль 2020 | Июль 2021 | Июль 2022 |
| Долг (в млн руб.) | $N$ | $0{,}6N$ | $0{,}4N$ | $0$ |
Найдите наименьшее значение $N$, при котором каждая из выплат будет составлять целое число миллионов рублей.
Решение
По условию в январе каждого года долг увеличивается на $20%$, значит, долг в январе каждого года равен
$1.2N; 0.6 · 1.2N; 0.4 · 1.2N$, то есть $1.2N, 0.72N, 0.48N$.
Следовательно, выплаты с февраля по июнь каждого года составляют: $1.2N — 0.6N; 0.72N — 0.4N; 0.48N — 0$, то есть $0.6N, 0.32N, 0.48N$.
Представим коэффициенты $0.6; 0.32; 0.48$ в виде несократимых дробей, получим ${3}/{5}, {8}/{25}, {12}/{25}$.
По условию числа $N , {3N}/{5}, {8N}/{25}, {12N}/{25}$ должны быть целыми. Числа $3$ и $5, 8$ и $25, 12$ и $25$ образуют пары взаимно простых чисел, значит, число $N$ должно делиться на $5$ и $25$. Наименьшее общее кратное этих чисел равно $25$.
Наименьшее значение $N$ равно $25$ млн рублей.
Задача 7
15 января планируется взять кредит в банке на сумму $2$ млн рублей на $6$ месяцев. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на целое число $r$ процентов по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей.
| Дата | 15.01 | 15.02 | 15.03 | 15.04 | 15.05 | 15.06 | 15.07 |
| Долг (в млн рублей) | $2$ | $1{,}8$ | $1{,}6$ | $1{,}2$ | $0{,}8$ | $0{,}4$ | $0$ |
Найдите наименьшее значение $r$, при котором общая сумма выплат будет составлять более $2{,}5$ млн рублей.
Решение
По условию текущий долг возрастает на $r$ процентов каждый месяц, тогда на 15-е число каждого месяца выплаты процентов за обслуживание кредита составят:
${2r} / {100}$; ${1{,}8r} / {100}$; ${1{,}6r} / {100}$; ${1{,}2r} / {100}$; ${0{,}8r} / {100}$; ${0{,}4r} / {100}$.
Общая сумма выплат (выплата процентов и суммы, взятой в кредит) равна
$2+{2} / {100}r+{1{,}8} / {100}r+{1{,}6} / {100}r+{1{,}2} / {100}r+{0{,}8} / {100}r+{0{,}4} / {100}r>2{,}5$,
$7{,}8r>50$,
$r>6{16} / {39}$,
$r$ — целое число, значит, наименьшее значение $r=7$.
Задача 8
В июле планируется взять кредит в банке на сумму $6$ млн рублей на срок $10$ лет. Условия возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на $p%$ по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга так, чтобы на начало июля каждого года долг уменьшался на одну и ту же сумму по сравнению с предыдущем июлем.
Найдите наименьшую возможную ставку $p$, если известно, что последний платёж будет не менее $0{,}684$ млн рублей.
Решение
Долг уменьшался равномерно 10 лет на $x$ млн руб. ежегодно. Тогда $6 — 10 · x = 0, x = 0.6$.
Каждый год долг уменьшался на $0.6$ млн рублей. Ниже приведена таблица за 10 лет.
| I | I I | I I I | I V | V | V I | V I I | V I I I | I X | X | |
| 6 | 5.4 | 4.8 | 4.2 | 3.6 | 3 | 2.4 | 1.8 | 1.2 | 0.6 | 0 |
Последний платёж по условию не меньше $0.684$ млн. руб.
$0.6 · (1 + 0.01p) ≥ 0.684$,
$1 + 0.01p ≥ 1.14$,
$p ≥ 14.$
Наименьшая ставка $p = 14%.$
Задача 9
В июле планируется взять кредит в банке на сумму $11$ млн рублей на срок $10$ лет. Условия возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на $r%$ по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга так, чтобы на начало июля каждого года долг уменьшался на одну и ту же сумму по сравнению с предыдущем июлем.
Найдите наименьшую возможную ставку $r$, если известно, что последний платёж будет не менее $1{,}265$ млн рублей.
Решение
Согласно условию возврата кредита, ежегодно сумма долга будет уменьшаться на ${11} / {10}$ млн рублей, а плата за пользование кредитом будет составлять $r%$ от оставшейся суммы долга. Тогда последний платёж будет $({11} / {10}+{11} / {10}⋅ {r} / {100})$ млн рублей, что по условию составляет не менее $1{,}265$ млн рублей. ${11} / {10}(1+{r} / {100})⩾ 1{,}265$, $1+{r} / {100}⩾ 1{,}15$, $r⩾ 15$. Наименьшая возможная ставка — $15%$.
Задача 10
Вклад планируется открыть на $3$ года. Первоначальный вклад составляет целое число миллионов рублей. В конце каждого года вклад увеличивается на $10 %$ по сравнению с его размером в начале года, а, кроме этого, в начале второго и третьего годов вклад ежегодно пополняется на $1$ млн рублей. Найдите наименьший размер первоначального вклада (в млн рублей), при котором через три года вклад будет больше $5$ млн рублей.
Решение
Пусть первоначальный вклад был $N$ миллионов рублей. В конце каждого года вклад увеличивается на $10%$, то есть в $1{,}1$ раза. Выпишем размер вклада после увеличения в конце каждого года.
В конце $1$-го года: $N⋅ 1{,}1=1{,}1N$.
В конце $2$-го года: $(1{,}1N+1)⋅ 1{,}1=1{,}21N + 1{,}1$.
В конце $3$-го года: $(1{,}21N+1{,}1+1)⋅ 1{,}1=1{,}331N + 2{,}31$.
Найдём наименьший размер первоначального вклада, при котором через три года вклад будет больше $5$ млн рублей.
$1{,}331N + 2{,}31>5$,
$1{,}331N>2{,}69$, $N>2{28} / {1331}$.
По условию $N$ — целое число, значит, $3$ миллиона рублей — наименьший первоначальный вклад.
Задача 11
$15$ января планируется взять кредит в банке на несколько месяцев. Условия его возврата таковы:
— $1$-го числа каждого месяца долг возрастает на $12{,}5%$ по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со $2$-го по $14$-е число месяца необходимо выплатить часть долга;
— $15$-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на $15$-е число предыдущего месяца.
На сколько месяцев планируется взять кредит, если общая сумма выплат после полного погашения кредита на $50%$ больше суммы, взятой в кредит?
Решение
Рассмотрим два способа решения.
I способ
Пусть K сумма планируемого кредита, nчисло месяцев на которое планируется взять кредит.
Тогда долг на 15-е число каждого месяца, последующего за месяцем взятия кредита, становится меньше долга на 15-е число предыдущего месяца на сумму ${K}/{n}$. Согласно условию последовательность долгов на 15-е число по месяцам имеет вид:
$K; K — {K}/{n} = K·{n — 1}/{n}; K — 2·{K}/{n} = K·{n — 2}/{n}; … ; K· {1}/{n}$.
2. 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 12.5% по сравнению с концом предыдущего месяца.
Пусть d долг, который образуется в конце предыдущего месяца. 1-го числа последующего месяца он станет равным $d + d·{12.5}/{100}$.
Согласно условию к 15-у числу этого месяца он должен стать равным $d — {K}/{n}$. Поэтому в указанном месяце необходимо выплатить сумму $(d + d·{12.5}/{100}) — (d — {K}/{n}) = d·{12.5}/{100} + {K}/{n}$.
Отсюда получается последовательность $x_1; x_2; x_3; … ; x_n$ выплат по месяцам:
$x_1 = K·{12.5}/{100} + {K}/{n}$;
$x_2 = K·{n — 1}/{n}·{12.5}/{100} + {K}/{n}$;
$x_3 = K·{n — 2}/{n}·{12.5}/{100} + {K}/{n}$;
… ;
$x_n = K·{1}/{n}·{12.5}/{100} + {K}/{n}$.
Как видим последовательность $x_1; x_2; x_3; … x_n$ является убывающей арифметической прогрессией (наибольшим числом является $x_1$, а наименьшим $x_n$). Её сумма $S_n$ находится по формуле $S_n = {x_1 + x_n}/{2} ·n$.
3. По условию $S_n$ на 50% больше суммы, взятой в кредит, поэтому $S_n = {3}/{2}K$:
$S_n = {K·{12.5}/{100} + {K}/{n} + K·{1}/{n}·{12.5}/{100} + {K}/{n}}/{2} ·n = {K ·{12.5}/{100}(1 + {1}/{n}) + {2K}/{n}/{2} ·n$;
$S_n = K ·{12.5}/{200}(n + 1) + K$.
Отсюда, $K ·{12.5}/{200}(n + 1) + K = {3}/{2}K, {12.5}/{200}(n + 1) = {1}/{2}, {1}/{16}(n + 1) = {8}/{16}, n + 1 = 8, n = 7$.
II способ
Пусть K — сумма планируемого кредита, n — число месяцев, на которое планируется взять кредит. Ежемесячный платёж состоит из двух частей. Перваяодна и та же сумма ${K}/{n}$ рублей, на которую каждый месяц уменьшается сумма долга.
Вторая плата за пользованием кредитом, которая составляет 12.5% от оставшегося долга.
Долг перед банком по состоянию на 15-е число каждого месяца, последующего за месяцем взятия кредита, должен уменьшаться до нуля равномерно: $K; K — {K}/{n}; K — 2·{K}/{n}; . . . ; K — (n — 1)·{K}/{n}; K — n{K}/{n} = 0$.
$K·{n}/{n}; K·{n — 1}/{n}; K·{n — 2}/{n}; . . . ; K·{n — (n — 1)}/{n} = K·{1}/{n}; 0$.
Так как $12.5% = {12.5}/{100} = {1}/{8}$, то ежемесячные выплаты за пользование кредитом составят
${1}/{8}K·{n}/{n}, {1}/{8}K·{n — 1}/{n}, {1}/{8}K ·{n — 2}/{n}, . . . , {1}/{8}K·{1}/{n}$.
Найдём сумму выплат $S$ за пользование кредитом: $S = {K}/{8n} (n + (n — 1) + (n — 2) + … + 1) = {K}/{8n}· {n + 1}/{2}· n = {K(n + 1)}/{16}$.
По условию общая сумма выплат после погашения кредита на 50% больше суммы, взятой в кредит, то есть $S = {1}/{2}K$.
${K(n + 1)}/{16} = {1}/{2}K, n + 1 = 8, n = 7$.
Кредит планируется взять на $7$ месяцев.
Задача 12
В банке взяли кредит на сумму $140000$ рублей под $r%$ годовых (в конце года сумма долга увеличивается на $r%$) и выплатили двумя платежами — $87000$ рублей и затем $63000$ рублей. Найдите $r$.
Решение
1. Через год сумма долга увеличится на $r%$ и станет равной $140 000(1 + {r}/{100})$ рублей. После выплаты $87 000$ рублей долг станет равным $140 000 (1 + {r}/{100}) — 87 000$ рублей.
2. После увеличения в конце второго года на $r%$ долг станет равным $(140 000(1 + {r}/{100}) — 87 000)(1 + {r}/{100})$ рублей. А после выплаты $63 000$ рублей он станет равным нулю. Получаем уравнение: $(140 000(1 + {r}/{100}) — 87 000)(1 + {r}/{100}) — 63 000 = 0$.
3. Пусть $(1 + {r}/{100}) = x$. Тогда уравнение принимает вид: $(140 000x- 87 000)x — 63 000 = 0$;
$140 000x^2 — 87 000x — 63 000 = 0; 140x^2 — 87x — 63 = 0$
По формуле корней квадратного уравнения получаем
$x_{1,2} = {87±√{7569 + 35280}}/{280} = {87±√{42 849}}/{280} = {87±207}/{280}$.
$x_1 = {87 — 207}/{280} < 0$, что невозможно по условию.
$x_2 = {87 + 207}/{280} = {294}/{280} = 1{14}/{280} = 1 + {1}/{20} = 1 + {5}/{100}$.
Отсюда, $(1 + {r}/{100}) = 1 + {5}/{100}, r = 5$.
Задача 13
В банке взяли кредит на сумму $150000$ рублей под $r%$ годовых (в конце года сумма долга увеличивается на $r%$) и выплатили его двумя платежами — $95000$ рублей и затем $77000$ рублей. Найдите $r$.
Решение
1. Через год сумма долга увеличится на $r%$ и станет равной $150000(1+{r} / {100})$ рублей. После выплаты $95000$ рублей долг станет равным $150000(1+{r} / {100})-95000$ рублей.
2. После увеличения в конце года на $r%$ долг станет равным $(150000(1+{r} / {100})-95000)(1+{r} / {100})$ рублей. А после выплаты $77000$ рублей он станет равным нулю. Получаем уравнение: $(150000(1+{r} / {100})-95000)(1+{r} / {100})-77000=0$.
3. Пусть $(1+{r} / {100})=x$.
Тогда уравнение принимает вид: $(150000x-95000)x-77000=0$; $150000x^2-95000x-77000=0$; $150x^2-95x-77=0$
По формуле корней квадратного уравнения получаем: $x_{1,2}={95±√ {9025+46200}} / {300}={95±√ {55225}} / {300}={95±235} / {300}$.
$x_1={95-235} / {300}<0$, что невозможно по условию. $x_2={95+235} / {300}={330} / {300}=1{1} / {10}=1+{10} / {100}$. Отсюда, $(1+{r} / {100})=1+{10} / {100}$, $r=10$.
Задача 14
В июне $2022$ года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму в рублях. Условия его возврата таковы:
— в январе каждого года долг возрастает на $12{,}5%$ по сравнению с долгом в июне;
— с февраля по $31$ мая каждый год необходимо выплатить часть долга одним платежом.
Определите, на какую сумму планируют взять кредит в банке, если известно, что кредит будет полностью погашен в течение трёх лет тремя равными платежами и общая сумма выплат будет больше суммы взятого кредита на $20295$ рублей.
Решение
1. Пусть сумма взятого кредита в рублях равна K рублей, а сумма ежегодного платежа равна x рублей. В январе 2023 года долг возрастёт на 12.5% и станет равным $K·1.125$ рублей. Тогда после внесения платежа в x рублей к концу мая 2023 года долг станет равным $K·1.125-x$ рублей.
В январе 2024 года этот долг опять увеличится на 12.5% и с февраля по конец мая 2024 года будет внесён платеж в $x$ рублей. В июне 2024 года долг составит $(K·1.125 — x)·1.125 — x$ рублей.
Наконец, в январе 2025 года этот долг опять увеличится на 12.5% и с февраля по конец мая 2025 года будет внесён платеж в x рублей. Первого июня 2025 года долг составит $((K·1.125-x)·1.125-x)1.125-x$ рублей. По условия кредит будет погашен тремя платежами, поэтому получаем уравнение:
$((K·1.125 — x)·1.125 — x)1.125 — x = 0$;
$x = {K·(1.125)^3}/{(1.125)^2 + 1.125 + 1}$.
Заметим, что $1.125 = {9}/{8}$, поэтому $x = {K·(9)^3}/{8·9^2 + 8^2·9 + 8^3} = {K·729}/{8·217}$;
Так как вся сумма выплат равна $3x$, то сумма выплат равна $3·{K·729}/{1736} = {K·2187}/{1736}$.
Согласно условию получаем уравнение: ${K·2187}/{1736} = K + 20295$;
${K·(2187- 1736)}/{1736} = 20295; {K·451}/{1736} = 20295$;
$K = 45·1736=78120$
Задача 15
В октябре $2016$ года решили взять кредит в банке на некоторую сумму в рублях. Условия его возврата таковы:
— в январе каждого года долг возрастает на $8%$ по сравнению с долгом в октябре;
— с февраля по $30$ сентября каждый год необходимо выплатить часть долга одним платежом.
Определите, на какую сумму взяли кредит в банке, если известно, что кредит был полностью погашен в течение трёх лет тремя равными платежами и общая сумма выплат больше суммы взятого кредита на $8324$ рубля.
Решение
1. Пусть сумма взятого кредита в рублях равна K рублей, а сумма ежегодного платежа равна x рублей. В январе 2020 года долг возрастёт на 8% и станет равным $K·1.08$ рублей. Тогда после внесения платежа в x рублей к концу сентября 2020 года долг станет равным $K·1.08-x$ рублей.
В январе 2021 года этот долг опять увеличится на 8% и с февраля по конец сентября 2021 года будет внесён платеж в x рублей. В октябре 2021 года долг составит $(K·1.08 — x)·1.08 — x$ рублей.
Наконец, в январе 2022 года этот долг опять увеличится на 8% и с февраля по конец сентября 2022 года будет внесён платеж в x рублей. Первого октября 2022 года долг составит $((K·1.08-x)·1.08-x)1.08-x$ рублей. По условия кредит будет погашен тремя платежами, поэтому получаем уравнение:
$((K·1.08 — x)·1.08 — x)1.08 — x = 0$;
$1.08^3K — 1.08^2·x — 1.08x — x = 0$.
$x = {K·(1.08)^3}/{(1.08)^2 + 1.08 + 1}$.
Заметим, что $1.08 = {27}/{25}$, поэтому $x = {K·(27)^3}/{25·((27)^2 + 25·27 + (25)^2)} = {K·19 683}/{25·2029}$;
Так как вся сумма выплат равна $3x$, то сумма выплат равна $3·{K·19 683}/{50 725} = {K·59 049}/{50 725}$.
Согласно условию получаем уравнение: ${K·59 049}/{50 725} = K + 8324$;
${K·(59 049- 50 725)}/{50 725} = 8324; {K·8324}/{50 725} = 8324$;
$K = 50 725$
Задача 16
Первого июля был взят кредит в банке на сумму $394400$ рублей на $4$ года. Условия его возврата таковы:
— в конце декабря каждого года долг возрастает на $12{,}5%$ по сравнению с долгом на первое июля;
— с первого января по $30$ июня каждый год необходимо выплатить часть долга одним платежом;
— сумма платежа каждый год одна и та же (о таком кредите говорят «на четыре года равными платежами с $12{,}5$ процентами годовых»).
Чему будет равна переплата по кредиту в рублях после полного погашения кредита?
Решение
В конце декабря первого года долг возрастёт на $12.5%$ и станет равным $394 400·1.125$. Пусть $x$ — сумма в рублях ежегодного платежа. Тогда после внесения платежа в $x$ рублей к началу июля второго года долг станет равным $394 400·1.125 — x$ рублей.
В конце декабря второго года этот долг опять увеличится на $12.5%$ и с января по конец июня третьего года будет внесён платеж в $x$ рублей.
Первого июля третьего года долг составит $(394 400·1.125-x)·1.125-x$. Аналогично рассуждая получим, что долг на 1-ое июля пятого года будет равен
$(((394 400·1.125-x)·1.125-x)·1.125-x)·1.125-x$. Так как после четырёх внесений долг исчерпается, то получаем уравнение:
$(((394 400·1.125 — x)·1.125 — x)·1.125 — x)·1.125 — x = 0$;
$394 400·(1.125)^4 — x((1.125)^3 + (1.125)^2 + 1.125 + 1) = 0$;
$x = {394 400·(1.125)^4}/{(1.125)^3 + (1.125)^2 + 1.125 + 1}$.
Применяя формулу суммы геометрической прогрессии, получаем:
$x = {394 400·(1.125)^4}/{{(1.125)^4 — 1}/{1.125 — 1}} = {394 400·(1.125)^4·0.125}/{(1.125)^4 — 1}$.
Заметим, что $1.125 = {9}/{8}$, а $0.125 = {1}/{8}$, поэтому
$x = {394 400·(1.125)^4·0.125}/{(1.125)^4 — 1} = {394 400·9^4·8^4}/{8^4·8·(9^4 — 8^4)} = {394 400·6561}/{8·(6561 — 4096)}$;
$x = {394 400·6561}/{8·2465} = {394 400·6561}/{19720} = 20·6561 = 131 220$.
Так как вся сумма выплат равна $4x$, то она равна $4·131 220 = 524 880$.
Сумма переплат по кредиту равна $524 880- 394 400 = 130 480$ рублей.
Задача 17
Первого августа был взят кредит в банке на сумму $100650$ рублей на $4$ года. Условия его возврата таковы:
— в конце декабря каждого года долг возрастает на $20%$ по сравнению с долгом на первое августа;
— с первого января по $31$ июля каждый год необходимо выплатить часть долга одним платежом;
— сумма платежа каждый год одна и та же (о таком кредите говорят: «на четыре года равными платежами с $20$ процентами годовых»).
Чему будет равна в рублях общая сумма выплат после полного погашения кредита?
Решение
1. В конце декабря первого года долг возрастёт на $20%$ и станет равным $100650⋅ 1{,}2$. Пусть $x$ — сумма в рублях ежегодного платежа. Тогда после внесения платежа в $x$ рублей к началу августа второго года долг станет равным $100650⋅ 1{,}2-x$ рублей. В конце декабря второго года этот долг опять увеличится на $20%$ и с января по конец июля третьего года будет внесён платеж в $x$ рублей. Первого августа третьего года долг составит $(100650⋅ 1{,}2-x)⋅ 1{,}2-x$. Аналогично рассуждая, получим, что долг на $1$ августа пятого года будет равен $(((100650⋅ 1{,}2-x)⋅ 1{,}2-x)⋅ 1{,}2-x)⋅ 1{,}2-x$. Так как после четырёх внесений долг исчерпается, то получаем уравнение: $(((100650⋅ 1{,}2-x)⋅ 1{,}2-x)⋅ 1{,}2-x)⋅ 1{,}2-x=0$; $100650⋅ (1{,}2)^4-x((1{,}2)^3+(1{,}2)^2+1{,}2+1)=0$; $x={100650⋅ (1{,}2)^4} / {(1{,}2)^3+(1{,}2)^2+1{,}2+1}$. Применяя формулу суммы геометрической прогрессии, получаем: $x={100650⋅ (1{,}2)^4} / {{(1{,}2)^4-1} / {1{,}2-1}}={100650⋅ (1{,}2)^4⋅0{,}2} / {(1{,}2)^4-1}$. Заметим, что $1{,}2={6} / {5}$, а $0{,}2={1} / {5}$, поэтому
$x={100650⋅ (1{,}2)^4⋅0{,}2} / {(1{,}2)^4-1}={100650⋅ 6^4⋅5^4} / {5^4⋅5⋅(6^4-5^4)}={100650⋅ 1296} / {5⋅(1296-625)}$; $x={100650⋅ 1296} / {5⋅671}=30⋅1296=38880$. Так как вся сумма выплат равна $4x$, то она равна $4⋅ 38880=155520$ рублей.
Задача 18
В мае планируется взять кредит в банке на сумму $15$ млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на $6%$ по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по апрель каждый год необходимо выплатить часть долга;
— в мае каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на май предыдущего года.
На сколько лет надо взять кредит, чтобы общая сумма выплат после полного погашения кредита составляла $17{,}25$ млн рублей?
Решение
1. Пусть $n$ — число лет, на которое планируется взять кредит. Тогда долг на май месяц каждого года, последующего за годом взятия кредита становится меньше долга на май предыдущего года на сумму ${15}/{n}$. Согласно условию последовательность долгов на май месяц в млн рублей по годам имеет вид:
$15; 15 — {15}/{n} = 15·{n — 1}/{n}; 15 — 2·{15}/{n} = 15·{n — 2}/{n}; … ; 15·{1}/{n}$.
2. В январе каждого года, последующего за годом взятия кредита долг возрастает на 6% по сравнению с концом предыдущего года.
Пусть $d$ — долг, который образуется в конце некоторого года. В январе последующего года он станет равным $d + d·{6}/{100}$.
Согласно условию к маю этого года он должен стать равным $d — {15}/{n}$. Поэтому в указанном году необходимо выплатить сумму $(d + d· {6}/{100}) — (d — {15}/{n}) = d·{6}/{100} + {15}/{n}$.
Отсюда получается последовательность $x_1; x_2; x_3; … ; x_n$ выплат по годам в млн рублей :
$x_1 = 15 · {6}/{100} + {15}/{n}$;
$x_2 = 15 · {n — 1}/{n} · {6}/{100} + {15}/{n}$;
$x_3 = 15 · {n — 2}/{n} · {6}/{100} + {15}/{n}$;
… ;
$x_n = 15 · {1}/{n} · {6}/{100} + {15}/{n}$.
Как видим последовательность $x_1; x_2; x_3; … ; x_n$ является убывающей арифметической прогрессией. Наибольшим числом является $x_1$, а наименьшим $x_n$. Её сумма $S_n$ находится по формуле $S_n = {x_1 + x_n}/{2}·n$.
3. Найдём теперь $n$ из условия $S_n = {x_1 + x_n}/{2}·n=17.25$:
$17.5={15·{6}/{100} + {15}/{n} + 15·{1}/{n}·{6}/{100} + {15}/{n}}/{2}·n $;
$34.5 = 0.9n + 0.9 + 30; 3.6 = 0.9n; n = 4.$.
Задача 19
В апреле планируется взять кредит в банке на сумму $12$ млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на $2{,}5%$ по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по март каждый год необходимо выплатить часть долга;
— в апреле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на апрель предыдущего года.
На сколько лет надо взять кредит, чтобы общая сумма выплат после полного погашения кредита составляла $13{,}5$ млн рублей?
Решение
1. Пусть $n$ — число лет, на которое планируется взять кредит. Тогда долг на апрель месяц каждого года, последующего за годом взятия кредита становится меньше долга на апрель предыдущего года на сумму ${12}/{n}$. Согласно условию последовательность долгов на апрель месяц в млн рублей по годам имеет вид:
$12; 12 — {12}/{n} = 12·{n — 1}/{n}; 12 — 2·{12}/{n} = 12·{n — 2}/{n}; … ; 12·{1}/{n}$.
2. В январе каждого года, последующего за годом взятия кредита долг возрастает на 2.5% по сравнению с концом предыдущего года.
Пусть $d$ — долг, который образуется в конце некоторого года. В январе последующего года он станет равным $d + d·{2.5}/{100}$.
Согласно условию к апрелю этого года он должен стать равным $d — {12}/{n}$. Поэтому в указанном году необходимо выплатить сумму $(d + d· {2.5}/{100}) — (d — {12}/{n}) = d·{2.5}/{100} + {12}/{n}$.
Отсюда получается последовательность $x_1; x_2; x_3; … ; x_n$ выплат по годам в млн рублей :
$x_1 = 12 · {2.5}/{100} + {12}/{n}$;
$x_2 = 12 · {n — 1}/{n} · {2.5}/{100} + {12}/{n}$;
$x_3 = 12 · {n — 2}/{n} · {2.5}/{100} + {12}/{n}$;
… ;
$x_n = 12 · {1}/{n} · {2.5}/{100} + {12}/{n}$.
Как видим последовательность $x_1; x_2; x_3; … ; x_n$ является убывающей арифметической прогрессией. Наибольшим числом является $x_1$, а наименьшим $x_n$. Её сумма $S_n$ находится по формуле $S_n = {x_1 + x_n}/{2}·n$. Согласно условию получаем: $S_n = {5.75}/{2}·n = 2.875 ·n$.
3. Найдём теперь $n$ из условия $x_1 + x_n = 13.5$:
$13.5={12·{2.5}/{100} + {12}/{n} + 12·{1}/{n}·{2.5}/{100} + {12}/{n}}/{2}·n $;
$27 = 0.3n + 0.3 + 24; 2.7 = 0.3n; n = 9.$.
Задача 20
В августе $2017$ года планируется взять кредит на $S$ млн рублей, где $S$ — целое число, на $4$ года. Условия его возврата таковы: — каждый февраль долг возрастает на $25%$ по сравнению с концом предыдущего года; — с марта по июль каждого года необходимо выплатить часть долга; — в августе каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей:
| Год | $2017$ | $2018$ | $2019$ | $2020$ | $2021$ |
| Долг (в млн. руб.) | $S$ | $0{,}8S$ | $0{,}5S$ | $0{,}3S$ | $0$ |
Найдите наименьшее целое $S$, чтобы общая сумма выплат была больше $5$ млн рублей.
Решение
В феврале 2018 года долг возрастает на 25% по сравнению с концом 2017 года: $S + 0.25S = 1.25S$.
С марта по июль долг уменьшается на некоторое число, обозначим его $P_n$ и будем считать, учитывая условие, что в 2018 году было выплачено $P_1$ и в каждом следующем $P_2, P_3, P_4$, соответственно. Итак, составим выражения для выплат в каждом году.
2018 г: $1.25S — P_1 = 0.8S$;
2019 г: $1.25⋅0.8S — P_2 = 0.5S$;
2020 г: $1.25⋅0.5S — P_3 = 0.3S$;
2021 г: $1.25⋅0.3S — P_4 = 0$.
Общая сумма выплат $(P_1 + P_2 + P_3 + P_4)$ должна быть больше 5 млн рублей, то есть $P_1 + P_2 + P_3 + P_4 > 5$.
$P_1 + P_2 + P_3 + P_4 = 1.25S + 1.25·0.8S + 1.25·0.5S + 1.25·0.3S-(0.8S + 0.5S + 0.3S)$;
$P_1 + P_2 + P_3 + P_4 = 1.25S(1 + 0.8 + 0.5 + 0.3) — S·(0.8 + 0.5 + 0.3), S(1.25 ·2.6 — 1.6) > 5, S ·1.65 > 5, S > 3{1}/{33}$.
Отсюда, $S = 4$ млн руб. (наименьшее значение).