Завет – это существительное с несколькими значениями.
1. Завещание, обращенное к потомкам; напутствие.
Отец мне дал важный завет: никогда на сделку со своей совестью не идти.
2. Обещание либо обет.
Я завет свой отлично помню и никогда вас не предам.
Ветхий Завет и Новый Завет – две части христианской Библии. В данном случае слова нужно писать с прописной буквы.