Уменьшительно-ласкательная форма от слова “зайка” правильно пишется “заинька”.
Это слово – исключение, потому что образовалось с суффиксом -иньк-. Эту форму нужно просто запомнить. Другие подобные уменьшительно-ласкательные формы существительных 1 склонения будут образовываться с помощью суффикса -еньк-, -енк- (Машенька, вишенка).
Пример:
Этого заиньку нельзя выпускать в лес.