Правильное написание слова – слитное или раздельное – зависит от контекста:
- «Зачем» пишется слитно, если это местоименное наречие, которое можно заменить синонимами «отчего», «почему». Пример: И зачем я ввязался в этот глупый спор?
- «За чем» пишется раздельно, если это предлог с местоимением. Пример: За чем ты пошел в магазин?