Правильно выспИмся, а не выспЕмся. Чтобы доказать выбранную букву, нужно сначала поставить глагол в неопределенную форму и определить спряжение. Что мы сделаем? Выспимся. Что делать? Спать, спим, спишь. 2 спряжение. Окончания являются ударными. Глагол не входит в список слов – исключений на –ать. Приставка “Вы” – перетягивает ударение, но не меняет окончания: выспИмся, выспИшься.