Правильный вариант – «учиться в продолжение года». «В продолжение» – это предлог, который обозначает временной промежуток, в течение которого осуществляется действие. Его часто путают со словом «в продолжении», которое представляет собой связку предлога и существительного «продолжение». Пример: Нужные тебе пункты можно прочитать в продолжении инструкции.