Правильный вариант написания слова – «участвовали», без буквы «в» в корне слова. Чтобы доказать ее отсутствие, необходимо подобрать такое проверочное слово, в котором ясно слышится, что после «т» букву «в» писать не нужно. Например, однокоренное слово «участие». Вариант «учавствовали» является ошибочным.