Слово “сыграйте”, “сыграть”, “сыграй” и под. пишутся через “ы” в корне.
Правило: если корневой гласный “и” стоит сразу после приставки на согласный (кроме меж-, сверх-), то он и в устной речи, и в письменной меняется на “ы”.
Иногда по аналогии со словами “съехать”, “подъезд” возникают сомнения, как написать – “съиграла” или “сыграла”. Но в словах с твердым знаком действует другое правило – твердый знак пишется перед йотированными (е, ё, ю, я), а наша -и- из корня -игр- к ним не относится.
Пример:
Сыграй мне что-то из Баха.
Команда сыграла отлично.