Глагол “сыграть” пишется через -ы-. В русском языке после приставок, заканчивающихся на согласный (кроме сверх- и меж-), звук -и- в речи устной и письменной чередуется с -ы-. Поэтому корень -игр- заменяется на -ыгр-, хотя это тот же самый корень.
Пример:
“Играть”, “переИграем” – в корне -и-, так как звук стоит в начале слова или после приставочной гласной;
“сЫграем”, “обЫграли” – приставка перед -ы- заканчивается на согласный.