Правильный вариант написания слова – «извини», с буквой «и» в корне. Проверить ее можно, подобрав такое проверочное слово, в котором гласная находилась бы под ударением – «провинность», «безвинный». Вариант «извени» является грубой ошибкой. Пример: Сестричка, извини меня за грубость!