“Синицын” – это притяжательное прилагательное, пишется с суффиксом “-ын” после -ц-.
В большинстве случаев притяжательные местоимения будут писаться с суффиксом “-ин” (“дочкин”, “нянин”), но в этом слове пишем так, как произносим – т.е. с твердым согласным “ц”.
Примеры:
Синицын хвост мелькнул за окном, а следом прыгнула кошка.
В синицын домик положили зерна и поставили воду.