Во фразе «с чего начался сегодняшний день» правильным вариантом является такой – «сегодняшний». Данное прилагательное образовано от наречия «сегодня» путем присоединения суффикса «шн» и окончания «ий». Поскольку прилагательное используется в связке с существительным мужского рода «день», стоящим в именительном падеже, то окончания будет «ий», а не «ей». Варианты «сегоднешний», «сегоднишний» являются ошибочными.