Правильный вариант написания – «ремонтировать в продолжение месяца». Выражение « в продолжение» означает, что какое-то дело еще не завершено, оно находится в процессе, и отвечает на вопрос «Как долго?». А выражение «в продолжении» означает то, что следует после совершенного события/действия.