Правильный вариант написания слова – «проживал», с буквой «и» в корне слова. Так как гласная в корне находится в безударном положении и является сомнительной, нужно подобрать такое однокоренное слово, в котором она бы четко звучала. Например, слов «жить». Варианты «прожевал», «прожывал» являются ошибочными.