Правильный вариант написания слова – «прошу», с буквой «о» в корне. Корневая гласная находится в безударном положении, поэтому ее написание является сомнительным. Нужно подобрать такое проверочное слово, в котором она бы находилась под ударением, например, «просьба». Вариант «прашу» является ошибочным.