Правильный вариант написания слова – «продлевать». Согласно правилу русского языка, если в 1 лице ед. числа настоящего или будущего времени в окончании -ываю (-иваю), то в суффиксе пишется -ива- (-ыва-). Однако в этом правиле встречаются слова-исключения – увещевать, застревать, затмевать, в том числе и продлевать. Правописание этого слова нужно просто запомнить. Вариант «продлять» является грубой ошибкой. Например: Мужчина не намеревался продлевать абонемент в спортклубе.